Integrasi Islam
Di dalam materi pecahan yang sudah kita ketahui di sekolah menengah pertama bahwa a/b; untuk b≠0 untuk a dinamakan pembilang dan b dinamakan penyebut. Dikarenakan pecahan adalah materi dasar. Dalam eksponen khususnya materi grafik fungsi eksponen sering kita temukan juga tentang bilangan pecahan. Seperti yang dijelaskan diatas a/b; untuk b≠0 untuk keterkaitan dengan integrase islam dalam materi ini adalah:
Misal:
Pembilang = cinta kepada Allah SWT
Penyebut = cinta dunia
No
Grafik
Keterngan
1
f(x) = 3^x bisa ditulis f(x) = (3^x )/1 seperti yang permisalan diatas maka hasilnya adalah jika cinta kita kepada Allah lebih besar dari cinta dunia maka bentuk grafiknya selalu monoton naik. Dan semakin besar nilai dari pangkat maka semakin besar pula nilai dari fungsinya otomatis peluang cinta kepada Allah SWT semakin besar pula dan peluang untuk bertemu kepada Allah SWT di surga nanti.
Bentuk cinta kita kepada Allah SWT adalah menjalankan apa yang diperintah kepada Allah SWT dan menjauhi Segala larangannya.
2
f(x) = (1/3)^x bisa ditulis f(x) = (1/3)^x jika cinta kita kepada Allah lebih kecil daripada cinta dunia maka bentuk grafiknya selalu monoton turun. Dan semakin besar nilai dari pangkat maka semakin besar pula nilai dari fungsinya otomatis peluang cinta kepada dunia semakin besar pula dan peluang untuk tidak bertemu kepada Allah SWT di surga nanti.
APLIKASI
Berdasarkan data statistic pada tahun 1998-2016 pertumbuhan penduduk dengan jumlah total populasi sekitar 255 juta penduduk, Indonesia adalah negara berpenduduk terpadat nomor empat di dunia. Komposisi etnis di Indonesia amat bervariasi karena negeri ini memiliki ratusan ragam suku dan budaya. Meskipun demikian, lebih dari separuh jumlah penduduk Indonesia didominasi oleh dua suku terbesar. Bagian ini membahas struktur dan cirikhas penduduk Indonesia.
Dua suku terbesar ini adalah Jawa (41 persen dari total populasi) dan suku Sunda (15 persen dari total populasi). Kedua suku ini berasal dari pulau Jawa, pulau dengan penduduk terbanyak di Indonesia yang mencakup sekitar enam puluh persen dari total populasi Indonesia. Jika digabungkan dengan pulau Sumatra, jumlahnya menjadi 80 persen total populasi. Ini adalah indikasi bahwa konsentrasi populasi terpenting berada di wilayah barat Indonesia. Propinsi paling padat adalah Jawa Barat (lebih dari 43 juta penduduk), sementara populasi paling lengang adalah propinsi Papua Barat di wilayah Indonesia Timur (dengan pospulasi hanya sekitar 761,000 jiwa).
Pertumbuhan penduduk tersebut juga menggunakan aplikasi matematika dengan sub bab eksponen. Bila penduduk suatu negara (daerah) pada suatu saat P_o mengalami pertumbuhan sebesar 100 r % per tahun (atau r per tahun), maka setelah t tahun, jumlah penduduk menjadi:
P_t=P_0 〖(1+r)〗^2
Ket :
P_t=jumlah penduduk pada tahun ke t
P_0=jumlah penduduk pada tahun awal yaitu tahun ke nol
r=tingkat pertumbuhan
R=(r+1)=tingkat pertumbuhan ditambah 1
Referensi:
http://www.madematika.com/2013/08/penerapan-fungsi-eksponen-dalam-bidang.html
APLIKASI
Seperti dilansir detik.com, hingga akhir Juni 2016, total utang pemerintah pusat terdata Rp 3.362,74 triliun. Jika dibandingkan dari bulan Mei 2016, maka jutang Indonesia naik Rp 39,38 triliun yakni Rp 3.323,36 triliun.
Selain itu, melihat data Ditjen Pengelolaan Pembiayaan dan Risiko Kementerian Keuangan, Rabu (2/8/2016), total pembayaran cicilan utang pemerintah pada Januari hingga Juni atau semester I-2016 adalah Rp 274,771 triliun, atau 57,21% dari pagu, atau yang dialokasikan di Anggaran Pendapatan dan belanja Negara (APBN).
Pembayaran pokok utang pada periode itu mencapai Rp 187,504 triliun, terdiri dari:
Pokok pinjaman Rp 37,227 triliun atau 53,77% dari pagu APBN.
Pembayaran pokok Surat Berharga Negara (SBN) Rp 150,277 triliun atau 66,45% dari pagu APBN.
Sementara untuk pembayaran bunga utang, pada periode itu adalah Rp 87,267 triliun atau 47,19% dari pagu APBN.
Pembayaran bunga pinjaman sepanjang periode itu adalah Rp 7,624 triliun (45,31% dari pagu APBN). Sementara untuk SBN, bunga yang dibayar tercatat Rp 79,644 triliun (47,3% dari pagu APBN).
Lalu berapa besar kalkulasi jumla hutang Indonesia di bulan Agustus ini? Lebih besar atau lebih sedikit? Dan bagaimana dengan postur APBN-P tahun 2016 ini?
Jika dikalkulasikan sampai saat ini hutang negara Indonesia mencapai 4500 Triliun
Mari kita hitung 4.500.000.000.000.000 dengan total penduduk Indonesia saat ini 225.000.000 maka:
4.500.000.000.000.000/225.000.000=20 jt
Jadi setelah dikalkulasikan ternyata setiap orang harus membayar 20 jt. Mungkin tidak bisa terbayang jika Indonesia tidak bisa membayar hutang negara, maka setiap orang yang ada di Indonesia akan membayar kuarang lebih 20 jt.
Catatan:
Mungkin dikarenakan matematika itu merupakan ilmu yang sangat unik jadi sebenarnya penulisan 4.500.000.000.000.000 bisa di tulis dengan sederhana yaitu dengan konsep eksponen. Jika bilang tersebut digitnya banyak maka bisa saja ditulis secara sederhana
Contoh:
4.500.000.000.000.000 =4,5×10^15
2.000.000.000.000.000.000.000.000.000=2×〖10〗^27
dst
referensi: http://www.forumblogindo.com/2016/08/jumlah-hutang-indonesia-agustus-2016.html
APLIKASI
Bakteri merupakan organisme kosmopolit yang dapat kita jumpai di berbagai tempat dengan berbagai kondisi di alam ini. Mulai dari padang pasir yang panas, sampai kutub utara yang beku kita masih dapat menjumpai bakteri. Namun bakteri juga memiliki batasan suhu tertentu dia bisa tetap bertahan hidup, ada tiga jenis bakteri berdasarkan tingkat toleransinya terhadap suhu lingkungannya. Aplikasi dari eksponen yang sering kita jumpai adalah berkembangnya virus atau bacteri yang ada di dalam rumah kita seprti di dapur, kamar mandi, maupun tempat yang kotor. Jumlah pertumbuhan koloni bacteri dalam waktu tertentu dapat dihitung dengan mengunakan persamaan dan fungsi eksponensial seperti contoh berikut:
Kolera, penyakit yang menyerang usus, disebabkan oleh bakteri kolera yang berkembang biak secara eksponensial dengan membelah selnya dan dinyatakan dengan N = N0.e1,386t. N adalah jumlah bakteri yang muncul setelah t jam dan N0 adalah jumlah bakteri pada permulaan (t = 0). Jika di awal terdapat 25 bakteri, tentukan banyak bakteri (dalam satuan terdekat) yang akan muncul dalam waktu:
0,6 jam
3,5 jam
Penyelesaian:
Substitusikan, N0 = 25 ke persamaan, maka diperoleh
N = 25. e1,386t
• Nilai N ketika t = 0,6
N=25.e^(1,386(0,6))
N=57 bacteri
• Nilai N ketika t = 3,5
N=25.e^(1,386(3,5))
N=3,197 bacteri
Untuk sembarang bilangan real a dan b , serta bilangan bulat m dan n , berlaku sifat-sifat
sebagai berikut :
1)
a^1 = a ; a^0= 1 ,dengan a ≠ 0
2)
a^m a^n = a^(m+n)
3)
(ab) ^m =a^m b^m
4)
〖(a^n)〗^m=a^(n m)
5)
a^m/a^n =a^(m-n) , dengan m>n dan a ≠0
6)
(a/b)^m=a^m/b^m dengan b ≠ 0
7)
a^(-n)=1/a^n =(1/a)^n;(a/b)^(-n);(b/a)^n,dengan a ≠ 0 ; b≠ 0
Fungsi eksponensial
Fungsi Eksponen adalah suatu fungsi yang memetakan setiap bilangan real x ke bilangan real a^x , dengan a > 0 dan a ≠ 1. Dalam bentuk umum fungsi eksponen didefinisikan sebagai:
Grafik Fungsi Eksponen
Untuk menggambar grafik fungsi eksponen, terlebih dahulu tentukan sejumlah titik yang dilalui oleh grafik tersebut dengan memasukkan nilai x pada persamaan y = a^x, untuk memudahkan, plot titik-titik dengan x bilangan bulat sebagai titik bantu, kemudian titik-titik yang sudah diplot dihubungkan dengan kurva mulus.
Grafik fungsi eksponen f(x) = a^x; untuk bilangan dasar a>1 contoh sebagai berikut :
f(x) = 3^x
f(x) = 4^x
tabel nilai fungsi f(x) = 3^x
x
⋯
-3
-2
-1
0
1
2
3
⋯
f(x)
⋯
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27
⋯
tabel nilai fungsi f(x) = 4^x
x
⋯
-3
-2
-1
0
1
2
3
⋯
f(x)
⋯
1/64
1/16
1/4
1
4
16
64
⋯
Grafik fungsi eksponen f(x) = a^x; untuk bilangan dasar 0<a<1 contoh sebagai berikut: dengan nilai fungsi
f(x) = (1/3)^x
f(x) = (1/4)^x
tabel nilai fungsi f(x) = (1/2)^x
x
⋯
-3
-2
-1
0
1
2
3
⋯
f(x)
⋯
8
4
2
1
1/3
1/9
1/27
⋯
tabel nilai fungsi f(x) = (1/2)^x
x
⋯
-3
-2
-1
0
1
2
3
⋯
f(x)
⋯
64
16
4
1
1/4
1/16
1/64
⋯
Grafik fungsi eksponen f(x) = a^x; untuk bilangan dasar a<0 contoh sebagai berikut dengan nilai fungsi f(x)=-2^x
Perlu dingat bahwa -2^x berarti bahwa -(2^x ), bukan (-2) ^x grafik y=-2^x diperoleh dengan mencerminkan grafik y=2^x terhadap sumbu x
Kesimpulan Grafik fungsi eksponen f(x) = a^x; untuk bilangan dasar a>1 contoh sebagai berikut :
Grafik tidak pernah memotong sumbu x
Kurva selalu monoton naik
Mempunyai asimtot pada sumbu x
Domain dari f(x) = a^x adalah himpunan
Semua bilangan real dan range berupa semua Bilangan real positif
Grafik fungsi eksponen f(x) = a^x; untuk bilangan dasar 0<a<1 contoh sebagai berikut:
Grafik tidak pernah memotong sumbu x
Kurva selalu monoton turun
Mempunyai asimtot pada sumbu x
Domain dari f(x) = 〖1/a〗^x adalah himpunan
Semua bilangan real dan range berupa semua Bilangan real positif
Persamaan eksponen
Dalam bahasan yang sekarang ini kita akan melihat bagaimana sifat-sifat eksponen dan sifat-sifat logaritma digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang memuat variabel dalam eksponen atau dalam logaritma. Secara khusus, suatu persamaan yang memuat variabel sebagai eksponen dinamakan persamaan eksponen.
Ada beberapa bentuk persamaan eksponen di antaranya beberapa bentuk berikut ini :
a^(f(x)) = a^p f(x) = p; a > 0 dan a ≠ 1
a^(f(x)) =a^(g(x)) f(x) = g(x) ; a > 0 dan a ≠ 1
a^(f(x)) = b^(f(x)) ; a dan b > 0 ; a dan b ≠ 1 ; a ≠ b f(x) = 0
a^(f(x)) = b^(g(x)) ; a dan b > 0 ,a dan b ≠ 1 ; a ≠ b ; f(x) ≠ g(x) log a^(f(x))= log b^(g(x))
〖h(x)〗^(f(x)) = 〖h(x)〗^(g(x)) ; beberapa kemungkinan antara lain:
Bila h(x) tidak sama dengan 0,1 atau – 1 , maka f(x) = g(x)
h(x) = 0 bila f(x) > 0 dan g(x) > 0
h(x) = 1
h(x) = – 1 bila f(x) + g(x) genap
A{ a f(x) }2 + B{ a f(x) } + C = 0 dapat diselesaikan dengan mengubah a f(x) = y, sehingga membentuk persamaan kuadrat Ay2 + By + C = 0
〖f(x)〗^h(x) =〖g(x)〗^h(x) , maka gunakan cara berikut:
h(x)=0 dengan f(x)≠0 dan g(x)≠0
bilngan pokok sama yaitu f(x)=g(x)
pertidaksamaan eksponen
pertidaksamaan eksponensial merupakan bentuk lain dari persamaan eksponensial, yaitu pertidaksamaan yang veriabelnya ada di dalam suatu pangkat, tetapi tanda penghubungnya merupakan tanda ketidaksamaan yang meliputi: <,>,≤,atau≥.
Sifat sifat dasar eksponensial antara lain:
jika a>1 maka a^x<a^y □(⇔┬ ) x<y
jika 0<a<1 maka a^x<a^y □(⇔┬ ) x>y
SOAL
Diketahui 2^x+2^(-x)=5 nilai dari 2^2x+2^(-2x)=⋯
Nilai x yang memenuhi
4^((x^2-x-2)).2^((x^2+3x-10))<1/16 adalah
Bentuk sederhana dari ((9a^2 b^(-1) c^3)/(27a^(-1) b^2 c^2 ))^(-1) adalah…
Diketahui a=4,b=4,dan c=1/2 tentukan nilai dari (a^(-1) )^2.b^4/c^(-3) =⋯
Tentukan nilai x_(1 ) dan x_2 dari persamaan 7^(〖2x〗^2+5x+6)=7^(x^2+x+3)
Diketahui 〖 5〗^(7x-7)=5^(-3x+13) maka nilai x yang memenuhi adalah⋯
Diketahui 3^(4x-5)=9 maka nilai x yang memenuhi adalah⋯
Diketahui 8^(2x-8)=1 maka nilai x yang memenuhi adalah⋯
Bentuk sederhana dari (4√3+6√(5).(8√3-3√5)) adalah⋯
Bentuk sederhana dari ((〖3m〗^(-3)-n^4 ) ^(-2))/(〖(3〗^3 m^(-1) n^(-3) 〖 )〗^(-3) ) adalah⋯
JAWABAN
〖〖(2〗^x+2^(-x))〗^2=2^2x+2^(-2x)+2
2^2x+2^(-2x) =(2^2x+2^(-2x) )-2
=25-2
=23
4^((x^2-x-2) ).2^((x^2+3x-10) )<1/16
2^2(x^2-x-2) .2^((x^2+3x-10) )<2^(-4)
2^((〖3x〗^2+x-14) )<2^(-4)
〖3x〗^2+x-10<0
(x+2)(3x-5)<0
-2<x<5/3
((9a^2 b^(-1) c^3)/(27a^(-1) b^2 c^2 ))^(-1)=(27a^(-1) b^2 c^3)/(9a^2 b^(-1) c^3 )
=(27a^1 b^2 c^3)/(9a^2 b^1 c^3 )
=(27b^3 c^3)/(9a^3 c^3 )
=(3b^3)/(9a^3 c)
(a^(-1) )^2.b^4/c^(-3) =(4^(-1) )^2.2^4/(1/2)^(-3)
=(2^(-2) )^2.2^4/(2^(-1) )^(-3)
〖 =(2^(-4) )〗^ .2^4/2^3
〖 =(2^(-4) )〗^ .2
=2^(-3)
=1/8
⇔7^(〖2x〗^2+5x+6)=7^(x^2+x+3)
⇔〖2x〗^2+5x+6=x^2+x+3
⇔〖2x〗^2+5x+6-x^2-x-3=0
⇔x^2+4x+3=0
⇔(x+3)(x+1)=0
⇔(x+3)=0 atau (x+1)=0
⇔x=-3 atau x=-1
⇔5^(7x-7)=5^(-3x+13)
⇔7x-7=-3x+13
⇔10x=20
⇔x=2
⇔3^(4x-5)=9
⇔3^(4x-5)=3^2
⇔4x-5=2
⇔4x=7
⇔x=7/4
⇔8^(2x-8)=1
⇔8^(2x-8)=8^0
⇔2x-8=0
⇔2x=8
⇔x=4
(4√3+6√(5).(8√3-3√5))=32(3)-18(5)-12√15+48√15
=96-90+36√15
=6+36√15
=6(1+6√15)
((〖3m〗^(-3)-n^4 ) ^(-2))/(〖(3〗^3 m^(-1) n^(-3)) ^(-3) )=(〖(3〗^3 m^(-1) n^(-3) 〖 )〗^3)/((〖3m〗^(-3)-n^4 ) ^2 )
=(3^6 m^(-3) n^9)/(〖3^2 m〗^(-6) n^8 )
=3^(6-2) m^(-3+6) n^(9-8)
=3^4 m^3 n^1
=〖81m〗^3 n
